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【砝码称重问题】

发表日期:2004年4月3日        已经有4002位读者读过此文


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  曾经有人出过这样一道题:怎样用四颗砝码,用天平把直到40磅为止的各个整数磅数的物体称出来?
  法国数学家巴舍·德·梅齐里亚克(Bachet de Meiziriac)在他的《数学趣题》(1624年)中,提到了这个问题。
  这个问题用二进制砝码是解决不了的,尽管如今的计算机都要使用二进制。因为用1磅、2磅、4磅、8磅四块砝码最多只能称出1+2+4+8=15磅的物体。很自然我们会想到二进制不行,那么试试三进制看看行不行,1+3+9+27=40磅正好符合我们的要求。虽然最大我们能够称出40磅的物体来,但是 1、3、9、27的各种组合只有1、3、4、9、10、12、13、27、28、30、31、36、37、39、40磅,其中缺少许多整数磅。不过我们有一种巧妙的方法,可以解决这个难题,我们可以把砝码加在天平上那个称东西的盘子上,因此,这块砝码不是要加在称出的重量上面,而是要从中减去的数。比如5=9-3-1、6=9-3、7=9+1-3等等。为了达到这个目的,这里所用的三进制数码不是通常的0、1、2,而是-1、0、1。不错,在用3作为底数时,所用数码是0、1、2,但是2可以写成3-1,因此可以化成-1这个数字。下面可以看到这么处理的方便之处。为了简便,我们把-1写成i,以后只要在三进制中碰到2这个数字,我们就把它改写成1i(即3-1=2)例如,三进制中的22102这个数,可以用下面的加法表改写成10i11i。
+ 1 i
1 1i 0
i 0 i1

 

22102=    1i
     1i
      1
         0
          1i (+
  ———————
      10i11i

为了称出14磅,先将14化成普通三进制112,再改写成1iii,方法如下:

112=     110
     1i (+
  ———————
   1iii

这就是说,我们应该把27这块砝码放进砝码盘,而把9、3、1三块砝码放进称物盘中:
27-9-3-1=14
再看怎样称出35磅来,35=27+6+2=(1022)3=110i,所以应该把27、9这两块砝码放进砝码盘,而把1磅这块砝码放进称物盘中。
这样我们完全解决了用四块砝码称出40磅以下所有整数磅物体的问题。
该结论可以推广到称量超过40磅的物体上去,这时,我们要再加一块81磅的砝码,最大可称量:
1+3+9+27+81=121磅
显然,如果有n块三进制砝码,则最大可称量的物品重量为:
1+3+3^2+3^3+...+3^(n-1)=(3^n-1)/2磅
    不过用这种三进制的方法还是过于繁琐,我还是用老一套——递推方法。首先必须有1磅,不然就无法称量1磅的物品,所以我们得到了第一块砝码:1磅。现在1磅的物品可以称量了,再增加一磅,2磅怎样称量呢?2=1+1,显然还需要一块1磅的砝码,但是如果我们要求每块砝码都尽量大,那么增加一块1磅的砝码就不符合要求了。因为我们也可以增加一块2磅的砝码,而能够直接称量2磅的物品;还可以大吗?增加一块3磅的,正好满足要求:1=1,2=3-1,3=3,4=1+3。我们看到:(1,1);(1,2);(1,3);都可以满足称量连续整数磅的物品,而其中(1,3)满足砝码尽量大的要求。但是也不能任意大,因为(1,4)不能称量2磅的物品,所以3磅是可选的第二块砝码中最大的一个,如果不要求尽量大,那么1,2,3都是可选的第二块砝码。现在能称量的最大重量是1+3=4磅,大于这个数就必须再增加砝码了,假设增加一块x磅的砝码,则称量 5磅=x-(1+3),求出第三块砝码 x=5+4=9磅,现在能称量从1到(1+3+9)=13磅的所有连续磅数的物品了,称量 14磅=x-(1+3+9),x=14+13=27磅。这样我们得到了4块砝码组(1,3,9,27)。
    那么一般情况是怎样的呢?我们看到,若已经知道前几块砝码重量各是a0,a1,...ak-1磅,则下一块砝码的重量 ak 满足公式:ak = 1+2(a0+a1+...+ak-1),但是也可以 ak < 1+2(a0+a1+...+ak-1),可是绝对不能大于,因为如果有ak > 1+2(a0+a1+...+ak-1),那么最小不可称量数1+(a0+a1+...+ak-1)就无法称量了。那么如何确定a0,a1,...ak 呢?现要求寻找能够称量从1到 N磅的砝码,
如果a是寻找到的最大一块砝码,而 N = a + b,而 b是已经确定好的能够称量从1到 b磅的砝码重量之和,那么应该满足:a ≤1+2b =1+2(N-a)=2N+1-2a,所以有:a ≤(2N+1)/3 。如果用取整符号则有:a = [(2N+1)/3] 。这样确定了a之后,对 b 继续应用如上规则,即可确定全部砝码。
    我们来看几个例子,N=75,[(2*75+1)/3]=50,75-50=25,[(2*25+1)/3]=17,25-17=8,[(2*8+1)/3]=5,8-5=3,[(2*3+1)/3]=2,3-2=1,所以确定出砝码组是(1,2,5,17,50)。
    再看,N=67,[(2*67+1)/3]=45,67-45=22,[(2*22+1)/3]=15,22-15=7,[(2*7+1)/3]=5,7-5=2,[(2*2+1)/3]=1,2-1=1,所以砝码组为(45,15,5,1,1)。
    N=83,[(2*83+1)/3]=55,83-55=28,[(2*28+1)/3]=19,28-19=9,[(2*9+1)/3]=6,9-6=3,[(2*3+1)/3]=2,3-2=1,所以砝码组为:(55,19,6,2,1)。
    我们再看看N=41怎样确定砝码组,[(2*41+1)/3]=27,41-27=14,[2*14+1)/3]=9,14-9=5,[(2*5+1)/3]=3,5-3=2,2=1+1,所以砝码组为:(27,9,3,1,1)。恰好是在40磅的称量法中再增加一块1磅的砝码。
    显然若 3n-1 < 2N+1 ≤ 3n 则需要n块砝码.


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