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【费马大定理】

发表日期:2004年4月3日        已经有7096位读者读过此文


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彼埃尔.德.费马(1601-1665)是数学史上最伟大的业余数学家,他的名字频繁地与数论联系在一起,可是他在这一领域的工作超越了他所在的时代,所以他的同代人更多地了解他是从他的有关坐标几何(费马独立于笛卡尔发明了坐标几何),无穷小演算(牛顿和莱布尼茨使之硕果累累)和概率论(本质上是费马和帕斯卡共同创立的)的研究中得出的.费马并不是一位专业数学家,他的职业是律师兼土伦地方法院的法官.
  费马登上法学职位后开始了业余数学研究;虽然他未受过正规的数学训练,但他很快对数学产生了浓厚的兴趣,可惜他未养成发表成果的习惯,事实上在其整个数学生涯中,他未发表过任何东西.另一方面,费马保持了跟同时代的最活跃和最权威的数学家之间的广泛的通信联系.在那个由数学巨人组成的世界里,有笛沙格,笛卡尔,帕斯卡,沃利斯和雅克.贝努里,而这位仅以数学为业余爱好的法国人能和他们中任何一位相媲美.
  著名的费马大定理的生长道路即漫长又有趣.1453年,新崛起的奥斯曼土耳其帝国进攻东罗马帝国的都城-----君士坦丁堡陷落了.拜占庭的学者纷纷逃向西方,也带去了希腊学者的手稿,其中就有刁番都的<<算术>>.这本书一直流传到今天,但在1621年前几乎无人去读他.这一年,克罗德.巴舍按照希腊原文重新出版了这本书,并附有拉丁译文,注释和评论.这才使欧洲数学家注意到这本书,似乎费马就是读了这本书才对数论开始感兴趣的.
  在读<<算术>>时,费马喜欢在页边空白处写一些简要的注记.在卷II刁番都问题8旁边的空白处,原问题是"给定一个平方数,将其写成其他两个平方数之和",费马写道:"另一方面,不可能将一个立方数写成两个立方数之和,或者将一个四次幂写成两个四次幂之和.一般地,对于任何一个数,其幂大于2,就不可能写成同次幂的另外两个数之和.对此命题我得到了一个真正奇妙的证明,可惜空白太小无法写下来."
  用代数术语表达,刁番都问题是想求出方程:
                          x2+y2=z2
  的有理数解,这已经由古希腊数学家欧几里德得到:x=2mn,y=m2-n2,z=m2+n2
  而费马在页边的注解断言,若n是大于2的自然数,则方程
                          xn+yn=zn
  不存在有理数解.这就是我们今天称为费马大定理的由来.
  尽管在普通人的心目中,相信费马真的找到了一个奇妙的证明,但他毕竟是一个动人的故事,17世纪的一位业余数学爱好者证明了一个结果,他使得其后350年间的数学家起来为之奋斗了,然而却劳而无功.他的问题是如此简明,因而这个故事更富有感染力.而且永远存在费马是正确的可能性.
  从费马的另一处注解中,数学史家发现了费马唯一具体的对于n=4的情形做的证明,在这个证明中,费马发明了一种"无穷递降法",他利用了整数边直角三角形的面积不可能是平方数的结论,假设方程:
                          x4+y4=z4
  有一组有理解,令a=x4,b=2x2z2,c=z4+x4,d=y2xz.反复利用熟知的恒等式:(s+t)2=s2+2st+t2
   得到:a2+b2=(z4-x4)2+4x4z4=z8-2x4z4+x8+4x4z4=(z4+x4)2=c2.并且有:
       ab/2=y42x2z2=(y2xz)2=d2
  于是,a2+b2=c2,并且ab/2=d2.但是这已经证明是不可能的,因此假定n=4时有解是错误的.
  对于n=3的情形,后来的欧拉在1753年用了一种有缺陷的方法证明了这个命题.他使用了一种"新数",即形如a+b√-3的数系,这个数系在许多方面与整数有相似之处,两者都构成一个数环.但他并不具备整数的全部性质,欧拉证明中用到的最要紧的性质是唯一因子分解定理,对于a+b√-3数系,这个定理碰巧也成立,所以欧拉的结论是正确的.但是换成别的形式比如a+b√-5,则唯一因子分解定理就不成立了.关于对于什么样的数系唯一因子分解定理成立的理论叫做示性类理论.
  接着,1825年,20岁的狄利赫莱和70岁的勒让德同时证明了n=5.
  1832年,法国杰出的女数学家索非.热尔曼证明:若p是奇素数并使得2p+1也是素数,则费马大定理成立.
  1839年,拉梅证明了n=7.
  取得突破性进展的是德国数学家E.库莫尔,1847年,他证明了对于小于100的除了37,59和67这三个所谓非正则素数以外,费马大定理成立.在这一证明过程中,库莫尔的最重要贡献不在于费马大定理本身,而是发明了一种全新的概念-----理想数,这是一种特别有用的涉及范围极广的概念,他将引出一个更一般的概念------理想,以及整个新的数学分支-----理想论,后者的基本原理现在已经成为大学一般数学系学生的必修课.
  1983年,29岁的德国数学家G.法尔廷斯证明了一个结论:对于每一个大于2的指数n,费马方程
                             xn+yn=zn
至多有有限多个解.这一证明使他赢得了1986年的菲尔兹奖.他把存在无穷多个解的可能性降低到最多只可能有有限多个解,这确实是一个巨大的成就.
  但是,费马大定理被彻底征服的途径一定会使涉及到这一领域的所有前人出乎意外,最后的攻坚路线跟费马本人,欧拉和库莫尔等人的完全不同,他是现代数学诸多分支(椭圆曲线论,模形式理论,伽罗华表示理论,等等)综合发挥作用的结果.
  其中最重要的武器是椭圆曲线和模形式理论.在50年代,日本数学家谷山丰和志村五郎提出一个猜想:有理数域上的每条椭圆曲线都有同构的模形式存在(今天我们一般称之为谷山-志村猜想).
  所谓椭圆曲线是由椭圆积分衍化而来的,他是如下形式的三次曲线:
                            y2=Ax3+Bx2+Cx+D
  而模形式是解析数论中研究的一种函数的运算(模函数是满足某种线性变换的复变函数,而摸形式是处处全纯的摸函数运算,全纯是指函数的摸是有限的).而通过相似的格,可以将椭圆曲线与摸形式联系在一起.
  从60年代开始,有人将费马方程xn+yn=zn 和形如
                            y2=x(x+A)(x+B)                    (1)
的椭圆曲线相联系,最初的着眼点是利用跟费马大定理有关的结论来证明与椭圆曲线有关的结论.1984年秋,G.弗赖在两者的联系方面迈出了关键性的一步,他参加了在德国黑森州奥波沃尔法赫小城举行的一次数学讨论会上演说中提出:假定费马大定理不成立,即存在一组非零整数a,b,c使得an+bn=cn (n>2),那么用这组解构造出的形如(1)的椭圆曲线(在(1)中令A=an ,
B=-bn ,现在称这类椭圆曲线为弗赖曲线),不可能是摸形式.而这与谷山-志村猜想矛盾.如果弗赖的结论和谷山-志村猜想都得到证明是正确的,根据反证法的逻辑可知,"假定费马大定理不成立"是错的,因而导出费马大定理正确.可惜弗赖本人未能证明自己的论断;但是在1986年,K.里贝特按照美国数学家J.P.赛尔的思想证明了弗赖的论断.于是,证明费马大定理的工作归结为去证明谷山-志村猜想.
  当时的数学家们普遍认为,要证明谷山-志村猜想还是很遥远的事情,但是,年轻的英国数学家安德鲁.怀尔斯对这种看法不以为然,他立即集中全部精力去证明这个猜想.经过7年的艰苦奋斗,怀尔斯于1993年6月在英国剑桥大学牛顿数学科学研究所举行的数学讨论会上,报告了他对如下结论的证明:对于有理数域上的一大类椭圆曲线(用专业术语称为半稳定的椭圆曲线),谷山-志村猜想成立.由于弗赖曲线恰好属于半稳定的椭圆曲线的范围,因此费马大定理自然地成为怀尔斯的推论.据称怀尔斯的证明长达200页.按照数学界的习惯,他的证明在得到确认之前,必须经过其他有关数学家的详细审查,尽管当时许多人相信怀尔斯的证明是经得起推敲的.好事多磨,事情并未就此了结.有关怀尔斯的证明中存在漏洞的传闻不胫而走.1993年12月4日,怀尔斯给他的同行们发出了一封电子邮件,承认他的证明中确有漏洞.数学家对待证明的态度是十分严肃的,不容半点含糊.
  1994年10月25日,美国俄亥俄州立大学的教授K.鲁宾以电子邮件的形式向数学界的朋友发出了谨慎而乐观的消息:
  "今天早上,有两篇论文已经发表,他们是:"椭圆模曲线和费马大定理",作者是安德鲁.怀尔斯;"某些赫克代数的环论性质",作者是R.泰勒和安德鲁.怀尔斯.第一篇是一篇长文,...他宣布了费马大定理的一个证明,而这个证明中关键的一步依赖于第二篇短文...."
  1995年7月号的"美国数学会通告"上发表了G.法尔廷斯的文章,题为"R.泰勒和A.怀尔斯对费马大定理的证明".他开宗明义,以肯定的语调宣称:"在本文题目中所提到的猜想于1994年9月终于被完整地证明了."至此,人们相信那个搅扰了数学家300多年的著名的猜想真正成为了一条定理!
  虽然费马大定理已经被证明了,但是也引起我们深入的哲学思考,怀尔斯是用归纳法来证明谷山-志村猜想的,即对于椭圆曲线的E-序列,对应着模形式的M-序列,并且应用了数学中高深的群论思想.那么我们要想,当年费马写在刁番都<<算术>>的空白处的"奇妙的证明"到底存在吗?无独有偶,我国的一位学者蒋春喧在怀尔斯之前就已经用初等数学的方法证明了费马大定理,并且得到了我国数论专家乐茂华和美国科学家桑蒂利的支持,想必不会是没有根据的错误论证.我们假设是正确的,那么这是否就是费马本人想到的那种"奇妙的证明"呢?对于这个问题,我们只能关注事态的发展,拭目以待最后的结果了.
  我至今还未找到我国学者蒋春喧的有关费马大定理的简单证明.等我找到之后会写完本篇文章,如果那位网友能帮助我找到,我将不胜感激,谢谢.

获奖和评论

1995-96年度数学沃尔夫(Wolf)奖由怀尔斯和朗兰兹(Robert P. Langlands)分享,于1996年3月24日在耶路撒冷由以色列总统魏兹曼颁发,奖金十万美元.
沃尔夫基金会称,怀尔斯得奖是“由于对数论及相关领域的壮观贡献,由于在若干基本猜想上得到的巨大进展,由于解决了费尔马大定理". 美国数学会的报道说, 怀尔斯引入深刻的奇异的方法, 对于数论中一些长期未决的基本问题的解决作出了巨大的贡献.例如, BSD猜想, 伊瓦萨瓦(Iwasawa)理论主猜想, 和谷山丰-志村五郎(Taniyama-Shimura)猜想. 他的工作的顶峰是对令人称颂的费尔马大定理的证明, 此定理塑造了过去两个世纪大多数论的形态. 朗兰兹是60岁的著名数学家,他的“朗兰兹猜想"影响深远,博大精深.
沃尔夫数学奖的历届得主都是极负盛名的数学家,如盖尔丰德,西格尔,韦伊,嘉当,陈省身,小平邦彦等. 该奖是国际上极有影响的大奖,由沃尔夫捐款在1978年设立. 也有化学,医药,农业,和艺术奖.(沃尔夫原居德国,一战前移居古巴,1961年起任古巴驻以色列大使,后留居以色列.与德国专门为费马大定理而设的沃尔夫斯克尔奖无关.).
怀尔斯获美国“国家科学院奖”被宣布是奖励“他对费马大定理的证明,这是他发明了一种美丽的战略,证明了志村五郎-谷山丰猜想的一大部分才完成的;也是奖励他在追求自已的思想实现的过程中所表现出的勇气和技巧力量". 此奖是在1988年为纪念美国数学会一百周年设立的, 奖金五千美元,奖给近十年内发表的杰出数学研究. 以前的得主是朗兰兹(1989)和麦克费尔逊(1993).
美国数学会在上述得奖报道中,刊登了怀尔斯过去的导师剑桥大学的蔻茨(J. Coates)的评论文章. 文章说: 怀尔斯在牛津大学毕业后, 于1974-75学年度到剑桥."他的天才很快被斯文哪尔敦--戴尔(Swinnerton-Dyer)注意到. 他因管理剑桥大学太忙, 不能作怀尔斯的研究生导师,对这我很高兴. 结果当怀尔斯1975夏开始科研时,我非常幸运地得以能指导他的数学研究第一步"."我们最后得以证明平行于伊瓦撒瓦的结果",证明了BSD猜想的秩零特殊情况."我很快认识到他具有两个显著的数学禀赋,我相信这在他以后的全部数学生涯中都起了关键的作用.第一,他优先于一切地要去证明困难的具体定理,而不愿去作优美的无所不包的猜想. 第二, 他有惊人的能力去吸收大量的极高深极抽象的机制, 并在脚踏实地的问题中贯彻直到得出巨大的成果".到1980年代中期, 怀尔斯"对于伊瓦撒瓦理论主猜想和关于希尔波特模形式的伽罗华表示的研究贡献, 已经使他成为过去150年以来对代数数论作出渊深贡献的极少数优秀数学家之一. 但是, 正象我们现在所知道的, 他并没有躺在这些桂冠上休息, 而从1986年夏他又一直默默地工作着, 朝向一个更伟大的目标.""过去35年的代数数论和算术代数几何,大多被猜想所统治, 而少有肯定的定理. 这并不是要贬毁期间证明的许多优美的定理, 只是要指出太常有的情况: 面对着那些大叠大排的猜想, 这些肯定的结果显得太拘谨, 而那些猜想的证明要留作代数数论的长期目标(例如, 椭圆曲线的BSD猜想, 或者阿庭关于他的非阿贝尔L-函数的全纯猜想). 安德鲁·怀尔斯的工作是对这种研究模式的绝妙解毒剂,也是我们时代的最响亮的警示: 我们是能够期望最终解开数论中那些最深奥的神谜的."

怀尔斯的生平
安德鲁.怀尔斯(Andrew Wiles)1953年4月11日生于英国剑桥.(所以他1993年6月宣布证明时,刚过四十岁生日两个多月.) 1971年入牛津大学莫顿(Merton)学院学习, 1974年获该校学士学位. 同年入剑桥大学柯雷尔(Clare)学院学习, 1980年获该校博士学位. 1977至1980年,是柯雷尔学院的“青年研究会员”和哈佛大学的“本杰明·裴尔斯助教授”. 1981年是波恩的“理论数学专门研究院”访问教授,此年稍后,为美国普林斯顿的“高等研究所”研究员. 1982年成为普林斯顿大学教授,该年春是奥赛的巴黎大学访问教授. 作为古根海姆特别研究员,他1985--86年是科学高级研究所(IHES)和高级师范学校(ENS)的访问教授. 1988至90年,是牛津大学皇家学会研究教授. 1994年,他取得现在的普林斯顿大学欧根·黑金斯数学教授职位. 怀尔斯于1989年被选为在伦敦的皇家学会研究员. 1995年获瑞典皇家科学院的数学韶克奖. 同年获费尔马奖,由保罗萨巴提尔大学和马特拉马克尼空间颁发. 1996年获沃尔夫奖,和[美国]国家科学院奖.

部分专为费尔马大定理而设的web网址:
http://www.ams.org/mathweb/mi-mathbytopic.html#fermat
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Fermat's_last_theorem.html
http://ix.urz.uni-heidelberg.de/~hb3/fermat.html
http://www.yahoo.com/Science/Mathematics/Problems/Fermat_s_Last_Theorem/
http://daisy.uwaterloo.ca:80/~alopez-o/math-faq/mathtext/node9.html

从奖励和评论以下部分摘自清华大学张贤科教授的网页:
http://faculty.math.tsinghua.edu.cn/faculty/~xzhang/


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