二、填空题
19．（全国Ⅰ?理?16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为
。
【
解答】一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=
，∴ 斜边EF的长为2
。
20．（全国Ⅱ?理?15题）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为
cm2。
【
解答】一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴ 2R=2=
，解得h=
，那么该棱柱的表面积为2+4
cm2.
21．（安徽?理?15题）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）。
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体。
【解答】在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是①矩形如ACC1A1；. ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如ACB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如AA1DC，所以填①③④⑤。
22．（江苏?理?14题）正三棱锥
高为2，侧棱与底面所成角为
，则点
到侧面
的距离是
．
【
解答】设P在 底面ABC上的射影为O，则PO=2，且O是三角形ABC的中心，设底面边长为a,则
设侧棱为b则
斜高
。由面积法求
到侧面
的距离
23．（辽宁?理?15题）若一个底面边长为
，棱长为
的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为
．
【
解答】根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由
得R=
，球体积为
24．（上海?理?10题）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面
与两直线
，又知
在
内的射影为
，在
内的射影为
。试写出
与
满足的条件，使之一定能成为
是异面直线的充分条件
平行，
相交
。
【
解答】作图易得“能成为
是异面直线的充分条件”的是“
，并且
与
相交”或“
，并且
与
相交”。
25．（四川?理?14题）如图，在正三棱柱
ABC-
A1
B1
C1中，侧棱长为
，底面三角形的边长为1，则
BC1与侧面
ACC1
A1所成的角是
．
26．（天津?理?
12题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为
．
【
解答】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即
，由
27．（浙江?理?16题）已知点O在二面角
的棱上，点P在
内，且
。若对于
内异于O的任意一点Q，都有
，则二面角
的大小是
____
____。
【
解答】
设直线OP与平面所成的角为
,由最小角原理及
恒成立知,只
三、解答题
27．（全国Ⅰ?理?19题）四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2
，SA＝SB＝
。
(Ⅰ)证明：SA⊥BC；
(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小；
【解答】解法一：
因为
，所以
，
由三垂线定理，得
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，依题设
，
，
．
的面积
．
，
解得
．
解法二：
因为
，所以
．
又
，
为等腰直角三角形，
．如图，以
为坐标原点，
为
轴正向，建立直角坐标系
，
所以
平面
，
与
的夹角记为
，
与平面
所成的角记为
，则
与
互余．
，
．
，
，
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增大字体
，点
到平面
的距离为
，
．
，垂足为
，由侧面
底面
，得
底面
，
，由
，
，
，得
，得
的面积
到平面
，由于
，得
．
所成的我为
．
，
，
，
，
，
，
，所以
中点
，
，
，取
，连结
，
．
，
，
．
，
，