| 初等几何变换 |
| 作者：佚名 来源：本站整理 发布时间：2007-10-7 0:35:13 |
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elementary geometric transformation
将几何图形按某种法则或规律变成另一个几何图形的过程。几何图形是点的集合，所以几何变换就是两个图形点之间的一一对应，即点变换。它在几何学中有重要的作用。初等几何变换在平面上主要有全等变换、相似变换和反演变换。
全等变换 它是平面上的点到其自身的一个一一对应，使其中任意两点A、B间的距离与其对应点A′、B′间之距离相等即｜AB｜＝｜A′B′｜。两点间的距离是全等变换的基本不变量。全等变换也称等距变换或合同变换。图形经全等变换后与其对应图形是相等的(真正相等或镜像相等)。全等变换的特殊情况有平移变换、旋转变换和轴反射变换。平面上把每点P 按定向量AA′的方向移到点P′，使｜PP′｜＝｜AA′｜的变换称为沿向量AA′的平移变换(图1)，简称平移变换或平移。在平移变换下，图形F的任意两点P、Q与其对应点P′、Q′所连线段平行且相等，故平移变换把一个图形变到与其真正相等的图形。
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平面上把每一个点P绕定点O旋转一定角θ变到点P′的变换称为绕着定点的旋转变换，简称为旋转（图2），定点O称为旋转中心，定角θ称为旋转角。在旋转变换下｜OP｜＝｜OP′｜，∠POP′＝θ，图形F中的任意两点P、Q与其对应两点P′Q′所连线段必相等。旋转变换把一个图形变到与其真正相等的图形。特别地，当θ＝0时，即为恒等变换(每点的对应点均为其自身的变换）。当θ＝π时，称为中心反射（图3），旋转中心称为反射中心。如果一个图形在某一中心反射下的对应图形为其自身，则称为中心对称图形，如平行四边形、圆、椭圆、双曲线均是中心对称图形。
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平面上任意一点P，若P在定直线l上，则规定其为自对应点，若P不在l上，则规定P与其对应点P′所连线段PP′被定直线l垂直平分，即P与P′对于l是对称点，这样的变换称为轴反射变换（图4）。定直线L称为反射轴。轴反射变换把一个图形变到与它对称相等的图形。在同一平面内，对于连续两次轴反射变换，当两反射轴重合时，则为恒等变换；当两反射轴平行时，则为平移变换；当两反射轴相交时，则为旋转变换。
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相似变换 它是平面上点的一一对应，使对于任意两点A、B与它的对应点A′、B′间有A′B′＝λAB，(λ是正常数），当λ＝1时，即为全等变换。相似变换的特殊情况是位似变换，即平 面上点的一一对应，使任意点A及其对应点A′对于定点S，总有①S、A、A′三点共线 ；②SA′＝｜λ｜SA（λ≠0），称之为以S为位似中心，λ为位似比的位似变换（图5)。当λ＞0时，A与其对应点A′在位似中心S的同侧；当λ＜0时，A与A′在点S的两侧。当｜λ｜＞1时，原图形被放大；当｜λ｜＜1时，原图形被缩小。特别地，当λ＝1时，即为以S为中心，旋转角为π的旋转变换(图6)。
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反演变换 它是平面上点的一一对应，对于已知中心在点O，半径为R的圆，使异于O的任一点P与其对应点P′间总有O、P、P′三点共线，且OP·OP′＝R2。称P′为P的反演点，O为反演中心，R为反演半径或反演幂，所给的圆为反演基圆（图7）。反演变换具有以下性质：①P与P′互为反演点；②反演圆上每点的反演点为其自身，反演圆内部的点变到圆外部的点；反之，圆外点变到圆内点；③通过反演中心的直线的反演为其自身，通过反演中心的圆的反演为不通过反演中心的直线；④不通过反演中心的圆的反演仍为一圆；⑤反演中心的反演为平面上的无穷远点；⑥两圆的交角等于反演变成的两圆的交角（即反演是保角变换）；⑦一圆若非反演圆，它的反演为其自身的必要充分条件是它与其反演圆正交（图8）。 |
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